对数学类书籍的评论-教材篇 | 四方之云

　　我在学习数学的过程中，读过（或翻阅过）一些备受推荐的教材，以及数学史和数学文化方面的书籍。那之中有非常精彩的作品，也有初学者应绕开的书。所以我写了这篇文章，以简要记录我对它们的评价。希望能给其他同样对数学感兴趣的人一些帮助。书名后的星号代表该书已绝版。

　　这篇文章主要讨论本科生层次的数学教材，共包含15本教材，约6000字。请读者善用搜索功能（CTRL+F）。

分析

数学分析（高等数学）

　　我在本科所学的第一门真正意义上的数学课，是数学分析。幸运的是，我遇到了一位优秀的教师；不幸的是，学院采用了相当糟糕的教材。因此我翻阅了大部分网络上推荐的教材，以寻找符合自己学习风格的书。按阅读先后将其汇总如下。

1. 华东师范大学数学系,数学分析(第四版), 北京: 高等教育出版社, 2010.
   　　不建议阅读。 它是国内高校常用的教科书，我校也未能幸免。这本书值得吐槽的地方实在太多了。
   　　其一，我认为它的章节设置很不合理。首先，开头就是极限的delta-epsilon定义。这个定义是许多大数学家经历了很长时间才逐渐完善的，因此绝大部分学生很难一开始就理解它。这盆冷水足以浇灭学生们对数学的热情。再比如说，它先讲普遍意义上的收敛级数，然后再讲幂级数和三角级数。从学生的角度来看，先讲具体例子再讲普遍定义会比较好理解。我当时花了好大力气去掌握抽象定义，结果发现后两章居然是具体的例子，白白浪费了我啃定义的时间。我对这本书非常失望。
   　　其二，这本书没有讲清数学定理背后的动机（motivation）。对于定义和证明，这本书只告诉你“它们是什么”，不告诉你“这些定义是如何演变发展来的”，更别提“如何直观理解定理”了。这就导致学生能读懂书中的许多证明，但是读完并不知道数学家是如何想出这个证明的。这也是绝大部分国产教材的通病。
   　　其三，这本书的证明省去了很多细节，学生基本不可能用它自学。考虑到国内大学老师上课普遍念PPT的现状，我觉得学生听课也可能听不太懂。我觉得只能勉强称它为”复习纲要“。
   　　简言之，这本书时常带着学生走弯路。任何一位对数学感兴趣的学生，都不应靠它学习数学分析。

2. 同济大学数学系, 高等数学(第七版), 北京:高等教育出版社, 2014.
   　　不建议阅读。 它也是国内高校常用教科书之一。我觉得这本书的讲法非常奇怪。它一方面想强调数学的严谨性，另一方面又省去很多重要定理的证明。学生无法从直觉上理解定理，听课也听不懂证明过程。这就导致广大工科学生认为“数学只需要背公式、套公式”。于是他们就这样错失了一个体会数学之美的机会。
   　　我所知道的适合工科的微积分教材：
   　　- Fenny, Weir and Giordano, 托马斯微积分(第10版), 北京: 高等教育出版社, 2003.
   　　- Adrian Banner, 普林斯顿微积分读本(修订版), 北京: 人民邮电出版社, 2016.
   　　它们侧重于从应用的角度理解微积分的含义。这两本书都有中文翻译版。

3. Γ. M. 菲赫金哥尔兹, 微积分学教程(第8版), 北京: 高等教育出版社, 2006.
   　　一本很好的参考书。 这是一本非常著名的数学分析教程。作者在书中几乎是把习题当例题来讲，所以读者能够足够深入地理解定理。这本书对许多讲解细节处理得十分优雅，很适合作为学习数学分析的参考用书。我只要有学不会的地方，就都能在这本书中找到更好的讲解。我读这本书的时候，时常被感动到流泪。这本书非常之厚（三卷，共1500多页）。就其体量而言，我觉得它可能不适合作为课堂教材或是自学用书。
   　　这本书大部分大学图书馆应该都有，读者可以直接去图书馆借一套。我手边的这套是学院发的。当时的任课老师怀着对数学的爱，决定用这套书作为教材。没过多久，他就发现有限的课时无法讲完这本书，于是用回了华东师范的《数学分析》。于是每位学生免费得到了一本比所用教材好得多的参考书。

4. Terence Tao, Analysis I and II (Third Edition), Springer, 2015.
   　　推荐，适合自学者阅读。 这本书是陶哲轩在UCLA授课的讲义，语言通俗易懂。作者从0开始构建实数系统，进而推演出数学分析的定理与证明。整本书的结构十分优美。除此之外，作者在书中的许多评论也很有价值。如果读者对数学的严谨证明很感兴趣，读这本书就对了。如果将这本书作为课堂教材的话，它更适合自学+教师引导讨论的教学模式。
   　　Springer出版了这本书的第三版，收录在Texts and Readings in Mathematics系列中。人民邮电出版社出版了第二版的中文译本，书名是《陶哲轩实分析》。淘宝上或许能找到这一译本。

5. Walter Rudin, 数学分析原理(英文版·第3版), 北京: 机械工业出版社, 2004.
   　　推荐，适合作为教材使用。 这本书是数学界广受赞誉的数学教材，被高校广泛采用。作者行文十分简洁，自学者不一定能体会其内涵，因此需要教师进行解释。
   　　国内好像有这本书的中文译本。考虑到翻译质量，读者应尽量阅读英文原版。机械工业出版社出版了这本书的影印版，各大网络书店有售。

6. G. H. Hardy, 纯数学教程(英文版·第10版), 北京: 机械工业出版社, 2009.
   　　适合对数学史感兴趣的人，不推荐初学者阅读。 作者Hardy是二十世纪的数学大师之一。当时的剑桥大学偏向应用数学，纯粹数学方面的研究落后于欧洲大陆。Hardy发起了对其教学的变革，将其研究重心转移至纯粹数学。这本书即是Hardy在这种背景下为剑桥数学系学生所写的教材。作者的文笔十分优美，兼有数学的严谨和语言的魅力。但由于年代较为久远，该书使用的数学符号和现在使用的教科书不完全一致。另外，由于措辞结构复杂，该书对读者的英语能力有一定的要求。
   　　我读的版本是机械工业出版社出版的影印版，目前已经绝版。世界图书出版公司出版了《纯数学教材（纪念版）》，淘宝有售。

复分析（复变函数）

　　复分析因其理论优美并有广泛应用价值，被称作“数学领域中的奇迹（miracles of mathematics）”。也有人说，复分析是本科生所能接触到的最美丽的数学理论。当然，学习优美的理论也需要一本优秀的教材。

1. 钟玉泉, 复变函数论(第四版), 北京: 高等教育出版社, 2013.
   　　不建议阅读。 该书几乎拥有国产教材的所有弊病：不讲历史发展、章节编排不合理、证明省略细节和动机，等等等等。复分析原本是非常优美动人的理论，这本书把它变得异常空洞乏味。我本科院校数学系用的就是这本教材。我从淘宝买来一本，翻阅一遍，怒而退之。

2. Tristan Needham, 复分析: 可视化方法, 北京: 人民邮电出版社, 2009. *
   　　强烈推荐。适合自学者阅读。 数学教学通常有两种思路：一种是强调严谨性，通过一系列证明推出重要结论；另一种是强调直觉，力图让学生从感性上理解定理与公式。这本书的作者采取了后一种思路。作者以可视化的形式讲解复分析的重要概念和定理，以向读者展现复分析之美。对于学生来说，这种讲法易于理解。另一方面，作者在引入定理时，十分关注它们的发展历程及背景。在讲述重要定理时，也会联系数学其他领域的内容。比如说，这本书里讲了相当数量的拓扑学/非欧几何的内容。作者的讲法循序渐进，十分连贯流畅，适合读者自学。总之，这是一本非常优秀的复分析教材。
   　　这本书的习题致力于培养读者的几何直觉。大部分题目都不是套公式就能解决的类型，需要读者独立思考。整体来说，题目比较难。Vasco的论坛上有题目的解答。论坛链接：https://vcaneedham.freeforums.net/ 下载解答需要科学上网。
   　　人民邮电出版社出版了这本书的英文影印版和中文译本。中文版的译者是齐民友先生。齐先生对这本书添加了相当数量的注解，指出并解释了原书中一些不严谨的地方。因此中文版比原版更有阅读价值。目前中英文版都已绝版。读者可去高校图书馆借阅并复印。

3. Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Complex analysis, 北京: 世界图书出版公司, 2013.
   　　推荐。适合作为复习教材。 作者E. M. Stein是分析学领域的大师，曾获Wolf奖。这本书是他为普林斯顿大学数学系学生所写的四本分析学教材中的第二本。这四本教材致力于以整体的观点介绍分析学。起点较低，仅要求读者学习过微积分和线性代数。
   　　在我看来，这本书适合第二次学复分析的人。首先，这本书的讲法非常简明优雅，能够让读者抓住最重要的部分。但是，作者讲得非常快：前三章差不多包括了大学一学期的内容。作者省去了一些证明细节，初学者可能会在那里卡住。所以不太适合初学复分析的人。其次，这本书的习题也比较难。对于一个知识点，大概有三种类型的题目。第一种是在定理基础上略加推广，就能得到结论；第二种是定理与先前知识的融合；第三种题目是对定理的拓展。前两种题目还好，第三种题目是真的难。。。我学数分时是班里数一数二的学生，做这些题也时常一把辛酸泪。
   　　世界图书出版社出版了这本书的影印版和中文译本。千万不要读中文版！ 中文版的译者之一是非数学专业的研究生，翻译很不靠谱。例如，原书中”toy contour”指的是沿曲线运动，曲线的内点始终在运动方向的左侧的曲线。这个名词可以意译为“简单曲线”，而中文版将其直译为“玩具曲线”。翻译质量不高的教材，只会将读者带入一个个大坑。

概率论

　　从更高的视角来讲，概率论属于复变函数领域中的测度论分支。也就是说，属于分析学。但广大理工科院校所教授的概率论更偏向于工程应用，不涉及过多理论知识。以下教材均为这一类型。

1. 盛骤, 谢式千, 潘承毅, 概率论与数理统计(第四版), 北京: 高等教育出版社, 2008.
   　　不建议阅读。 这就是大名鼎鼎的“浙大版概率论”。国产教材，千万别读。顺便说一句，我读本科的时候，曾在中国大学MOOC上学过哈工大用这本教材开设的《概率论与数理统计》。教材空洞乏味，加上教师照本宣科，让我觉得听课简直是一种折磨。讽刺的是，这样一门课居然还是“国家精品课程”。在此奉劝各位，不要听国内的数学类慕课。你会惊讶地发现，听课的学习效果还不如自己啃教材。至于国外的慕课平台，Edx, Coursera, MIT Open Courses等都很不错。

2. 陈希孺, 概率论与数理统计, 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2009.
   　　推荐阅读。 陈希孺先生是中国数理统计学家，中国科学院院士。他一生致力于培养统计学人才，出版了十余本专著、教科书以及科普读物。这本《概率论与数理统计》是面向理工科学生的本科层次教材。与其他教材相比，这本书告诉读者如何直观理解部分定理和公式。这一点对于初学者十分重要。另外，作者十分强调做题的重要性。因此这本书包含了许多颇有难度的习题，或许适合爱刷题的朋友。

3. Sheldon Ross, 概率论基础教程, 北京: 机械工业出版社, 2014.
   　　不建议阅读。 我准备数学建模竞赛的时候，快速翻阅过这本书。作者不怎么提推导动机，所以这本书读起来也没什么味道。它的习题倒是花样繁多——题目背景从化学实验到生物育种，无所不包。总体来说，它勉强可以作为建模参考书，但不太适合作为教材。

代数

1. David C. Lay, Linear Algebra and Its Application, 北京: 电子工业出版社.
   　　不建议阅读。 这是我读大一时，学院线性代数课程用的教材。时间久远，我对它的记忆有点模糊，不太记得是第几版了。印象中，这本书十分重视计算，不太关注推导。不过，这本书在重要概念旁边，会用图片解释它的几何含义。例如，在行列式旁边，就有“二阶行列式代表平面图形面积”的图示。书中习题大部分是计算题，很少有需要纯粹逻辑推演证明的题。为了锻炼读者的逻辑分析能力，每章有十余道判断题。一本数学书，不出证明题，出些判断题干嘛。。。总之，我觉得这是一本中规中矩的工科教材，不太适合对纯数学感兴趣的学生阅读。

2. Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right (Third Edition), Springer, 2014. *
   　　强烈推荐。适合作为复习教材。 我读大三的时候，有天忽然想巩固一下线代基础，于是开始看这本书。借用作者在第二版中的序，介绍这本书：

　　几乎所有的线性代数书都使用行列式来证明：有限维复向量空间上的线性算子都有本征值。但是，行列式既难懂又不直观，而且其定义的引入也往往缺少动机。为了证明复向量空间上本征值的这个存在性定理，大部分教科书都必须先定义行列式等于0，然后定义特征多项式.这种曲折的（折磨人的？）思路根本不能让学生领会为什么本征值一定存在。
　　与此相反，本书所给出的不使用行列式的简单证明更直观。本书把行列式放在了最后，这就开辟了一条通往线性代数的主要目标——理解线性算子结构的新途径。

　　简单来说，这本书采用函数映射的角度讲解线性代数。这就使学习线性代数变得异常刺激。透过代数的视角，你会发现求导、积分等函数映射都有着迷人的相似性——它们都是线性映射。我还清楚地记得，我读这本书时，时常被感动得热泪盈眶。
　　这本书作者假设读者先前学习过微积分和（工科）线性代数，并致力于使读者真正理解线性代数。因此这本书不适合初学者。

　　除教材外值得一提的是，YouTube作者3Blue1Brown制作过一系列从几何视角理解线性代数的视频，即《线性代数的本质》。圆桌字幕组对其进行了汉化，并发布在B站上。视频地址在这里：https://space.bilibili.com/88461692/channel/detail?cid=9450

数论

1. G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (Sixth Edition), 北京: 人民邮电出版社, 2009. *
   　　推荐阅读。 这本书是Hardy在牛津大学、剑桥大学等高校授课时的讲义。书中每一章大致对应一次讲座。字里行间可见作者对数学的一腔深情。读这本书时，我总是想象着年轻的Hardy站在讲台前，意气风发地讲授着自己心爱的数学。
   　　在我看来，Hardy所写的这本教材，几乎可以称得上是艺术品。作为数学教材，它包含了诸多有趣而深刻的内容；其讲解方式深入浅出，没有错过任何一个需要重视的细节。作者时常延后一些困难定理的证明，吸引读者不断阅读下去。如果我有一段无忧无虑的假期，加上充足的咖啡和草稿纸，以及这本书，该有多么美好。
   　　人民邮电出版社出版了这本书的影印版和中文译本，这两本书目前都已绝版。中文译本失去了作者在遣词造句中隐含的情感，读之略有些遗憾。由于二十世纪的英文与现代英文略有不同，建议读者将中英文版本对照阅读。

　　我终于写完了教材篇的书评。数学文化类书籍还有10本书的书评要写。所谓“读书一时爽，书评火葬场”…(›´ω`‹ )

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